Решение
При доказательстве будем пользоваться следующим утверждением: если рациональное число
(p и q – взаимно простые целые числа) является корнем многочлена
 = a_k x^k + a_{k - 1} x^{k - 1} + ... + a_1 x + a_0 })
с целыми коэффициентами (
), то p является делителем
, а q – делителем
. Предположим, что
})
– рациональное число (при некотором n≥4).
1) Пусть n кратно 4, то есть n=4t, t∈N. Тогда
 = \cos \left( {t\frac{\pi }{{4t}}} \right) =})
^t + a_{t - 1} \cdot \left( {\cos \frac{\pi }{n}} \right)^{t - 1} + a_{t - 2} \cdot \left( {\cos \frac{\pi }{n}} \right)^{t - 2} + ... + a_1 \cdot \left( {\cos \frac{\pi }{n}} \right) + a_0 .})
Такое равенство невозможно, так как левая часть – иррациональное число
, тогда как значение правой части рационально.
2) Пусть n – нечётное число и n≥5. Тогда
Тогда
– рациональный корень многочлена
, и, по сформулированному выше утверждению,
 = \frac{1}{{2{}^m}}})
, где
Но это невозможно, так как при n≥5 выполняется неравенство
 > \cos \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2} \ge \frac{1}{{2{}^m}} })
. Вновь получено противоречие.
3) Пусть, наконец, n чётно и не кратно 4. Тогда n имеет нечётный делитель p, то есть n=pt, p – нечетное число; более того, если n∉{2,6}, то всегда можно выбрать p так, что p≥5. Тогда
 = \cos \left( {t\frac{\pi }{n}} \right) = })
^t + a_{t - 1} \cdot \left( {\cos \frac{\pi }{n}} \right)^{t - 1} + a_{t - 2} \cdot \left( {\cos \frac{\pi }{n}} \right)^{t - 2} + ... + a_1 \cdot \left( {\cos \frac{\pi }{n}} \right) + a_0. })
В предыдущем пункте доказано, что число
})
иррационально. Значит, число
также иррационально, ибо в противном случае рациональной была бы и правая часть последнего равенства.
Таким образом, для всех натуральных n≥4 показано, что
– иррациональное число.
Покажем, что для всех натуральных n≥4, n≠6 число
 })
иррационально. Предположим, что при некотором n
– рациональное число.
1) Пусть n – чётное число, n=2k,k≥4. Тогда
})
. По доказанному, число
иррационально, следовательно иррационально и число
.
2) Пусть n нечётно. Аналогично первой части рассуждений доказывается иррациональность числа
 })
,n≥8. Далее из равенства
 })
следует иррациональность числа
.