Решение
Пусть пара чисел (a,b) удовлетворяет уравнению задачи:
Предположим, что одно из чисел, например a, равно нулю. Тогда, очевидно, b=k. Поэтому далее будем рассматривать такие решения (a,b) уравнения (1), для которых
Более того, будем предполагать, что
Итак, пусть пара (a0,b0) удовлетворяет (1), а также условиям (2), (3). Из (1) находим, что
Это равенство можно трактовать как квадратное уравнение относительно неизвестной b0. По теореме Виета, помимо, собственно, b0, это уравнение еще имеет корень b'0 такой, что
Утверждение. Этот новый корень b'0 удовлетворяет условиям: b'0≥0, b'0∈Z и b'0 < a0.
Доказательство. Числа a
0 и b'
0 удовлетворяют (1), поэтому b'
0≥0 (иначе правая часть (1) была бы отрицательной, так как, по условию задачи и в силу (2), a
0>0). Из (4) следует, что неотрицательное b'
0 является целым, а из (5) – что
Установим, что b'
0 < a
0. Действительно,
Последнее верно в силу (3). ∎
Таким образом, пара (a
0, b
0), удовлетворяющая уравнению (1) и ограничениям (2), (3), порождает новую пару (см. (4)) вида (b'
0, a
0)=(k
2 a
0 - b
0,a
0), которая также удовлетворяет (1), (2), (3) (если, конечно, a
0≠k; так как, согласно (5), b'
0 еще может быть найден по формуле
, так что, если a
0=k, то (3) не будет выполнено). Будем эту новую пару обозначать как (a
1, b
1). Затем по тем же формулам можно из пары (a
1, b
1) получить еще решение (a
2, b
2) и т.д. Символически полученный результат представим следующим образом:
Здесь am = k2 am-1 - bm-1, bm = am-1, при этом (см. утверждение)
am > am-1. (7)
Сразу же отметим и формулы обратного преобразования
am-1 = bm, bm-1 = k2 bm - am, (7')
с помощью которых можно цепочку (6) продолжить влево. С помощью правила (7), из одного решения (a0, b0), удовлетворяющего (1), (2), (3), мы можем получить лишь конечное число новых решений уравнения (1), так как, согласно доказанному утверждению, a0 > a1 > a2 > ⋯ ≥ 0. Значит, на каком-то шаге обязательно получится an=0 (тогда, как было показано выше, bn=k). Чтобы на n-м шаге получить 0, на предыдущем шаге должно было быть an-1=k (подставив a=an-1=k в (1), найдем b=bn-1=k3). Таким образом, окончание цепочки (6) выглядит так:
(Цепочку (8) вправо продолжать смысла нет, так как далее
.) А вот что предшествует паре (a
n-1, b
n-1)=(k,k
3)? Согласно (7'), на предыдущем шаге a
n-2=k
3, b
n-2=k
5-k – и это тоже решение уравнения (1)! Можно продолжить, получая новые решения: a
n-3=k
5-k, b
n-3=k
7-2k
3 и так далее. Значит, всего решений у уравнения (1) бесконечно много, так как цепочку (8) можно продолжить влево сколь угодно далеко.
Поясним почему (8) содержит все решения (1), удовлетворяющие условию (3). Пусть (a*,b*) – какое-то (удовлетворяющее (3)) решение уравнения (1). Было показано, что с помощью формул (7) из решения (a*,b*) можно получить цепочку новых решений (см. (6)), которая непременно закончится решением (0,k). Но это и означает, что (a*,b*) содержится в (8), ведь, приняв теперь решение (0,k) за отправную точку, мы с помощью обратных преобразований (7') вернемся к (a*,b*) (а цепочка (8) именно так и устроена: начав с (0,k), мы с помощью (7') получаем ее всю).
Чтобы записать ответ, несколько поменяем нумерацию: положим (a0,b0)=(0,k) и двинемся с помощью (7′) по цепочке (8) влево (у нас будет (a1,b1)=(k,k3), (a2,b2)=(k3,k5-k) и т.д.).