Есть 101 клетка. Двое поочередно слева направо вписывают в эти клеточки по одной из цифр от 0 до 9. Если после заполнения всех клеток сумма всех записанных цифр будет делиться на 11, то выиграет игрок, ходивший первым, а если не будет делиться на 11 – то вторым. Какой из игроков выиграет при правильной своей игре и любой игре соперника? Ответ обосновать.
- Подсказка
Подсказка
Рассмотреть остатки от деления на 11 суммы всех цифр после 101-го, 100-го, 99-го и т.д. шага игры. Установить закономерность.
- Решение
Решение
Выигрышная стратегия будет у первого игрока. Опишем её:
Чтобы выиграл первый игрок, нам необходимо, чтобы на 101 шаге сумма всех цифр делилась на 11, то есть остаток от деления на 11 был равен "0". Мы сможем это обеспечить тогда и только тогда, когда после 100-ого шага сумма всех цифр будет давать любой остаток от деления на 11, кроме "1". Чтобы это гарантировать, после 99-ого шага сумма должна давать остаток "2". Это получится, если на 98-ом шаге, остаток будет любым, кроме "3". Тогда первому игроку на 97-ом шаге надо обеспечить остаток "4", на 95-ом остаток "6", 93-ем остаток "8", 91-ом остаток 10, 89-ом остаток "1", и так далее, на 3-ем остаток "10", на 1-ом остаток "1".
- Ответ