Обозначим через число, полученное записью подряд всех чисел от n до m включительно, здесь n и m – натуральные числа, причем n>m≥1. Так, например, число , а число . Докажите, что среди таких чисел есть число, делящееся на 2022.
Рассмотрим числа вида , где n - нечетное. Так как чисел указанного вида бесконечно много, то среди них найдутся два числа и , n>k, имеющие одинаковые остатки от деления на 2022. Тогда разность делится нацело на 2022. При этом и число является четным. Так как и числа 1011 и взаимно просты, то число делится нацело на 1011, а следовательно, и на 2022.