Решение
Докажем вспомогательное утверждение.
Утверждение. Пусть пара натуральных чисел
удовлетворяет исходному уравнению
Тогда
1)
2) уравнение (1) имеет еще одно решение в натуральных числах
Доказательство: 1) Положив
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{x_0 = y_0 = a})
и подставив в (1), получим
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{2a^2 + 1 = 6a^2 .})
Очевидно, что
2) По условию, число
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{x_0})
является корнем многочлена
По теореме Виета, этот многочлен еще имеет корень
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{x_2})
, причем
Отсюда следует, что
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{x_2 = 6y_0 - x_0})
и
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{x_2 \in {\Bbb N}.})
Утверждение доказано.
Предположим, что какое-то решение
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{\left( {x_0 ,\;y_0 } \right)})
уравнения (1) найдено. Без ограничения общности можно считать, что в этой паре
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{x_0 > y_0})
(неравенство строгое в силу пункта 1 утверждения). Будем это записывать как
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{\max \left( {x_0 ,\;y_0 } \right) = x_0 .})
Согласно утверждению, уравнение (1) еще имеет решение
Это означает, что для многочлена (2) справедливы равенства
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{\psi \left( {x_0 } \right) = \psi \left( {6x_0 - y_0 } \right) = 0.})
Заметим, что
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{\psi \left( {y_0 } \right) = y_0^2 - 6y_0^2 + y_0^2 + 1 < 0.})
Поэтому число
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{y_0})
лежит между корнями многочлена (2), а именно:
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{x_0 > y_0 > 6y_0 - x_0.})
Следовательно,
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{\max \left( {6y_0 - x_0 ,\;y_0 } \right) = y_0 < \max \left( {x_0 ,\;y_0 } \right).})
Итак, для любого решения
![](http://cryptolymp.ru/cgi-bin/mt.cgi?{\left( {x_0 ,\;y_0 } \right)})
существует другое решение, у которого максимальный элемент окажется меньше. Таким образом, мы можем строить новые решения, у которых максимальный элемент становится все меньше. Но при этом этот максимальный элемент, постоянно уменьшаясь, остается натуральным числом, что невозможно. Пришли к противоречию. Значит, исходное уравнение (1) решений в натуральных числах не имеет.