Пусть в параллелограмме ABCD |AB| = |CD| = a,
|AD| = |BC| = b, a = arccos c. Очевидно, что cos a = c , а
cos(π - a) = -c. Обозначим |DN| = x, |LC| = y.
От противного можно показать, что взаимно перпендикулярные
прямые MN и KL , указанные в условии задачи, должны проходить
через точку пересечения диагоналей параллелограмма ABCD.
Очевидно равенство: KON = LON.
Из него и из равенства площадей, SKOND = SLONC, следует совпадение
площадей,SKND = SLON . Последний факт влечёт справедливость
равенства 1/2(a - x)y sina = 1/2(b - y)x sin(π - a), из которого следует соотношение
y = (bx)/a. (1)
На основании равенства KN = LN и теоремы косинусов можно записать уравнение
(a - x)2 + y2 – 2(a - x)y cos a = (b - y)2 + x2 – 2(b - y)x cos (π - a),
из которого и из (1), в свою очередь, следует уравнение
4bcx2/a – (2a – 2b2/a + 4bc)x + a2 – b2 = 0. (2)
При a = 2, b = 3 и с = 5/16 решениями (2) являются x = -2 и x = 4/3. Первое
отсеивается из геометрических соображений. Соответствующее значение
y = 2.
