Архив задач

А вот и она - тригонометрия

Решите систему уравнений
     
{ \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {\cos x = 2\cos ^3y} \hfill \\ {\sin x = 2\sin ^3y} \hfill \\ \end{array} }} \right. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Возвести оба уравнения в квадрат и сложить.
  • Решение

    • Решение

      Возведем оба уравнения в квадрат и сложим. Получим следствие из исходной системы: {4\cos ^6y + 4\sin ^6y = 1} . Делим на 4 и раскладываем левую часть по формуле суммы кубов {\cos ^4y - \cos ^2y\sin ^2y + \sin ^4y = \frac{1}{4}} . Используя основное тригонометрическое тождество и формулу для синуса двойного угла, получим {1 - \frac{3}{4}sin^22y = \frac{1}{4}} . Откуда {\cos 2y = 0} , {y = \frac{\pi }{4} + \frac{\pi n}{2}} . Рассматривая 4 случая для {n} , получаем ответ <\p>

  • Ответ

    • Ответ


    { x = \frac{\pi }{4} + 2\pi k_{, }y = \frac{\pi }{4} + 2\pi n; }

    { x = \frac{3\pi }{4} + 2\pi k_{,} \quad y = \frac{3\pi }{4} + 2\pi n; }

    { x = \frac{5\pi }{4} + 2\pi k_{,} \quad y = \frac{5\pi }{4} + 2\pi n; }

    { x = \frac{7\pi }{4} + 2\pi k_{,} \quad y = \frac{7\pi }{4} + 2\pi n. }