Архив задач

2.11.2008

Решить неравенство "{\log_{x-1}(x+1)>\log_{x^2-1}(x+1).}">

  • Подсказка

    • Подсказка

    Найти ОДЗ и с его учетом решить неравенство, сделав замену {\\log_{x+1}(x-1)=y.}
  • Решение

    • Решение

    ОДЗ неравенства описывается условиями
    { \left\{\begin{array}{l} x-1\ge0,\\[1.5ex] x+1\ge0,\\[1.5ex] x^2-1\ge0,\\[1.5ex] x-1\ne1,\\[1.5ex] x^2-1\ne1 \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l}x\ge1,\\[1.5ex] x\ne\sqrt2,\\[1.5ex] x\ne2. \end{array}\right. }
    Преобразуем неравенство с учетом ОДЗ:
    {\log_{x-1}(x+1)\ge\log_{x^2-1}(x+1),}

    {\frac1{\log_{x+1}(x-1)}\ge\frac1{\log_{x+1}(x^2-1)},}

    {\frac1{\log_{x+1}(x-1)}\ge\frac1{1+\log_{x+1}(x-1)}.}
    Сделаем замену {\log_{x+1}(x-1)=y} :
    {\frac1y\ge\frac1{1+y}.}
    Решим полученное рациональное неравенство:
    {\frac1y-\frac1{1+y}\ge0,}

    {\frac1{y(1+y)}\ge0,}

    {y(1+y)\ge0,}

    {\left[\begin{array}{l} y\ge0,\\[1.5ex] y\le-1. \end{array}\right. }
    Перейдем к исходной переменной:
    {\left[\begin{array}{l} \log_{x+1}(x-1)\ge0,\\[1.5ex] \log_{x+1}(x-1)\le-1. \end{array}\right. }
    Согласно ОДЗ {x\ge1} , поэтому основание логарифма {x+1\ge1} . Решая простейшие логарифмические неравенства, получаем
    {\left[\begin{array}{l} x-1\ge(x+1)^0,\\[1.5ex] x-1\le(x+1)^{-1}, \end{array}\right. }

    {\left[\begin{array}{l} x-1\ge1,\\[1.5ex] (x-1)(x+1)\le1, \end{array}\right. }

    {\left[\begin{array}{l} x\ge2,\\[1.5ex] x^2\le2, \end{array}\right. }

    {\left[\begin{array}{l} x\ge2,\\[1.5ex] -\sqrt2\le x\le\sqrt2, \end{array}\right. }
    т.е. {x\in(-\sqrt2,\sqrt2)\cup(2,\infty)} . Учитывая ОДЗ, получим окончательно {x\in(1,\sqrt2)\cup(2,\infty)} .
  • Ответ

    • Ответ

    {(1,\sqrt2)\cup(2,\infty)} .