В трапеции прямая, проведенная через вершину и середину диагонали , пересекает большее основание трапеции в точке , причем . Прямая пересекает диагональ в точке . Найти отношение площади треугольника к площади трапеции.
Доказать, что - параллелограмм. Используя подобия и свойства площади треугольника, найти отношение площадей треугольников и . Останется показать, что площадь в 2 раза меньше площади трапеции.
Пусть - середина , а . Тогда по условию .
Обозначим , , .
1. Докажем, что - параллелограмм. Треугольники и равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, , и равны треугольники и (по двум сторонам и углу между ними). Теперь уже нетрудно убедиться в параллельности прямых и .
2. Обозначим . По доказанному, . Треугольники и подобны по трем углам (так как и параллельны). При этом коэффициент подобия равен . Отсюда следует, что .
3. В треугольниках и высоты равны и совпадают с высотой трапеции, а основания отличаются в два раза. Следовательно,
