Архив задач

6.11.2007

Решить систему неравенств
{ \left\{ \begin{array}{l} 4^{x+y-1}+3\cdot4^{2y-1}\le2,\\ x+3y\ge2-\log_4 3. \end{array} \right. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Второе неравенство сделать показательным. Далее выполнить замену показательных функций так, чтобы система содержала только линейные неравенства.
  • Решение

    • Решение

    Преобразуем второе неравенство:
    {x+3y\ge2-\log_4 3,}

    {x+3y-2\ge\log_4(1/3),}

    {4^{x+3y-2}\ge\frac13.}
    Система неравенств примет вид
    { \left\{ \begin{array}{l} 4^{x+y-1}+3\cdot4^{2y-1}\le2,\\ 4^{x+3y-2}\ge\frac13. \end{array} \right. }
    Теперь видна замена переменных:
    {a=4^{x+y-1}\ge 0,\; b=4^{2y-1}\ge0.}
    Получим систему
    { \left\{ \begin{array}{l} a+3b\le2,\\ ab\ge\frac13, \end{array} \right. \quad\Leftrightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} a+3b\le2,\\ 3ab\ge1. \end{array} \right. }
    Так как {a\ge0} , то из первого неравенства следует, что {a^2+3ab\le2a} , откуда {3ab\le2a-a^2} . С учетом первого неравенства получим
    { 1\le3ab\le2a-a^2 \quad\Rightarrow\quad 1\le2a-a^2. }
    Получаем неравенство для переменной {a} :
    {a^2-2a+1\le0,}

    {(a-1)^2\le0,}

    {a=1.}
    Подставляя найденное значение {a} в систему неравенств, получаем
    { \left\{ \begin{array}{l} 3b\le1,\\ 3b\ge1, \end{array} \right. }
    откуда {b=\frac13} . Перейдем к исходным переменным:
    { \left\{ \begin{array}{l} 4^{x+y-1}=1,\\ 4^{2y-1}=\frac13, \end{array} \right. }

    { \left\{ \begin{array}{l} x+y-1=0,\\ 2y-1=-\log_4 3. \end{array} \right. }
  • Ответ

    • Ответ

    {x=\frac{1+\log_4 3}2} , {y=\frac{1-\log_4 3}2} .