Архив задач

7.11.2007

Доказать, что для любого натурального числа {n} число {n^2+5n+53} не может делиться на 121.

  • Подсказка

    • Подсказка

    Провести доказательство от противного. Учесть, что если число делится на 121, то оно делится и на 11. Представив число {n^2+5n+53} в виде {(n-3)(n+8)+77} , разобрать возможные случаи делимости на 11.
  • Решение

    • Решение

    Нетрудно видеть, что
    { n^2+5n+53=(n-3)(n+8)+77. }
    Если это число делится на 121, то оно делится и на 11. Значит, {(n-3)(n+8)} делится на 11. Отсюда следует, что {n-3} делится на 11 или {n+8} делится на 11.
         В первом случае {n-3=11k} , тогда {n+8=11k+11} . Тогда число
    { n^2+5n+53=(n-3)(n+8)+77=11k\cdot11(k+1)+77 }
    очевидно не делится на 121, так как 77 не делится на 121.
         Во втором случае {n+8=11k} , тогда {n-3=11k-11} . Тогда число
    { n^2+5n+53=(n-3)(n+8)+77=11(k-1)\cdot11k+77. }
    не делится на 121 по той же причине.
  • Ответ

    • Ответ

    Утверждение доказано.