Архив задач

3.11.2006

Решить неравенство
{ \frac89\cdot\frac{3^x}{3^x-2^x}\le 1+\left(\frac23\right)^x. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Левую часть неравенства преобразовать к выражению, содержащему одну показательную функцию, и выполнить замену {y=\left(\frac23\right)^x} .
  • Решение

    • Решение

    Преобразуем неравенство к виду
    { \frac89\cdot\frac1{1-\left(\frac23\right)^x}\le 1+\left(\frac23\right)^x. }
    Отсюда видно ОДЗ: {x\ne0} . Сделаем замену переменных {y=\left(\frac23\right)^x} . Получим неравенство
    { \frac89\cdot\frac1{1-y}\le 1+y. }
    Перенесем {1+y} в левую часть и приведем к общему знаменателю:
    { \frac{8-9(1-y^2)}{1-y}\le0, }

    { \frac{9y^2-1}{1-y}\le0, }

    { \frac{(3y-1)(3y+1)}{y-1}\ge0. }
    Последнее неравенство решается методом интервалов:
    { y\in[-1/3,1/3]\cup(1,\infty). }
    Возвращаясь к исходной переменной {x} , получим совокупность двух неравенств:
    { \left[ \begin{array}{l} -\frac13\le\left(\frac23\right)^x\le\frac13,\\ \left(\frac23\right)^x\ge 1, \end{array} \right. \qquad \left[ \begin{array}{l} \left(\frac23\right)^x\le\frac13,\\ \left(\frac23\right)^x\ge 1, \end{array} \right. \qquad \left[ \begin{array}{l} x\ge\log_{2/3}(1/3),\\ x\le 0. \end{array} \right.\qquad}
  • Ответ

    • Ответ

    {(-\infty,0)\cup[\log_{2/3}(1/3),+\infty)} .