Архив задач

6.11.2006

Решить уравнение
{\frac{3\tg x-\tg^3 x}{2-\cos^{-2}x}=\frac{4+2\cos(6x/5)}{\cos3x+\cos x}.}

  • Подсказка

    • Подсказка

    Используя равносильные преобразования тригонометрических выражений и с учетом ОДЗ избавиться от знаменателя. После преобразований получить равенство, которое может выполняться в единственном случае значений правой и левой частей.
  • Решение

    • Решение

    Преобразуем уравнение к равносильному виду
    {\frac{3\tg x-\tg^3 x}{\frac{2\cos^2x-1}{\cos^2x}}=\frac{4+2\cos(6x/5)}{2\cos2x\cos x},}

    {\frac{3\tg x-\tg^3x}{\cos2x\cos^{-2}x}=\frac{2+\cos(6x/5)}{\cos2x\cos x}.}
    Теперь видно, что ОДЗ уравнения описывается условиями
    {\left\{\begin{array}{l} \cos x\ne0,\\ \cos2x\ne0. \end{array}\right.}
    Преобразуем уравнение далее
    {\frac{3\sin x\cos x-\frac{\sin^3x}{\cos x}}{\cos2x}=\frac{2+\cos(6x/5)}{\cos2x\cos x},}

    {3\sin x\cos^2 x-\sin^3x=2+\cos(6x/5),}

    {3\sin x(1-\sin^2 x)-\sin^3x=2+\cos(6x/5),}

    {3\sin x-4\sin^3 x=2+\cos(6x/5),}

    {\sin3x=2+\cos(6x/5).}
    Так как значения синуса и косинуса заключены в пределах {[-1,1]} , получаем
    {\left\{\begin{array}{l}\sin3x=1,\\ \cos(6x/5)=-1,\end{array}\right.}

    {\left\{\begin{array}{l}3x=\frac\pi2+2\pi n,\\ \frac{6x}5=\pi+2\pi m,\end{array}\right.}

    {\left\{\begin{array}{l} n}3,\\ m}3. \end{array}\right.}
    Найдем пересечение двух серий решений. Для этого приравняем значения {x} :
    {\frac\pi6+\frac{2\pi n}3=\frac{5\pi}6+\frac{5\pi m}3,}

    {1+4n=5+10m, }

    {n=1+\frac{5m}2,}
    причем в последнем равенстве {m} должно быть четным, т.е. {m=2k} . Тогда
    {n=1+\frac{5m}2=1+5k,}
    откуда
    {x=\frac\pi6+\frac{2\pi(5k+1)}3=\frac{5\pi}6+\frac{10\pi k}3.}
    Теперь выясним, какие из этих решений удовлетворяют ОДЗ. Для этого рассмотрим случаи {k=3t} , {k=3t+1} , {k=3t+2} . В каждом случае подставим значение {x} в ОДЗ. Нетрудно убедиться, что при {k=3t+2} полученные решения не удовлетворяют ОДЗ. Значит, окончательный ответ имеет следующий вид
    {\frac{5\pi}6+\frac{10\pi k}3,~k\ne3t+2} .
  • Ответ

    • Ответ

    {\frac{5\pi}6+\frac{10\pi k}3,~k\ne3t+2} .