Архив задач

7.11.2006

Решить уравнение
{x^5+(x-1)^5+\ldots+(x-2006)^5=0.}

  • Подсказка

    • Подсказка

    Выполнить замену {t=x-2003} , воспользоваться равенством {a^5+b^5=(a+b)\cdot C} , где {C} - некоторый многочлен от {a,b} Доказать, что после преобразований найденный корень будет единственным (т.е. необходимо доказать, что других корней уравнение иметь не будет).
  • Решение

    • Решение

    Выполним замену {t=\frac{x-2006+x}{2}=x-2003} . Тогда исходное уравнение преобразуется к виду
    { (t+1003)^5+(t+1002)^5+\ldots+(t-1002)^5+(t-1003)^5=0. }
    Группируя первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и т.д., и учитывая, что одно "центральное" слагаемое { t^5 } останется без пары, воспользуемся равенством {a^5+b^5=(a+b)\cdot C} . Исходное уравнение приведем к виду
    {2t \cdot C_1+2t \cdot C_2+\ldots+2t \cdot C_{1003}+t^5=0,}
    тогда
    {t \cdot C=0,}
    где {C_1,C_2,\ldots,C_{1003},C} - многочлены от одной переменной {t} . Значит, {t=0} - корень уравнения, т.е. {x=1003} -искомое решение. Докажем, что других корней нет. Заметим, что функции
    {x^5,~~ (x-1)^5,~ \ldots, ~(x-2006)^5}
    являются возрастающими. Поэтому их сумма
    {f(x)=x^5+(x-1)^5+\ldots+(x-2006)^5}
    - возрастающая функция. Значит, уравнение {f(x)=0} может иметь не более одного корня. (То, что функция {f(x)} возрастает, можно показать также, найдя производную
    {f'(x)=5x^4+5(x-1)^4+\ldots+5(x-2006)^4}
    и увидев, что она положительна.)
  • Ответ

    • Ответ

    1003.