Архив задач

5.11.2005

Решить уравнение
{ {\rm tg}^2\frac x2 + \frac1{\sin^2\frac x2} + \sin^2\frac x2\cdot{\rm tg}\frac x2 + \cos^2\frac x2\cdot\ctg\frac x2 + \sin x =5. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Используя основные тригонометрические формулы свести к уравнению относительно новой переменной {t={\rm tg}\frac x2 + \ctg\frac x2} .
  • Решение

    • Решение

    ОДЗ уравнения определяется условиями
    { \sin\frac x2\ne0,\quad \cos\frac x2\ne0, }
    т.,е.{x\ne\pi n} . Применим трижды основное тригонометрическое тождество:
    { {\rm tg}^2\frac x2 + \frac{\sin^2\frac x2+\cos^2\frac x2}{\sin^2\frac x2} + (1-\cos^2\frac x2)\cdot{\rm tg}\frac x2 + (1-\sin^2\frac x2)\cdot\ctg\frac x2 + \sin x =5. }
    Далее,
    { {\rm tg}^2\frac x2 +1+ \ctg^2\frac x2 + {\rm tg}\frac x2 + \ctg\frac x2 -2\sin\frac x2\cos\frac x2 + \sin x =5, }

    { \left({\rm tg}\frac x2 + \ctg\frac x2\right)^2 + \left({\rm tg}\frac x2 + \ctg\frac x2\right)=6. }
    Вводя переменную {t={\rm tg}\frac x2 + \ctg\frac x2} , находим {t=2} , {t=-3} . Отсюда
    { \left[\begin{array}{l} {\rm tg}\frac x2 + \ctg\frac x2=2,\\ {\rm tg}\frac x2 + \ctg\frac x2=-3, \end{array}\right.\qquad \left[\begin{array}{l} {\rm tg}^2\frac x2 -2{\rm tg}\frac x2+1=0,\\ {\rm tg}^2\frac x2 +3{\rm tg}\frac x2+1=0. \end{array}\right. }
    Получаем три серии решений:
    { \left[\begin{array}{l} {\rm tg}\frac x2=1,\\ {\rm tg}\frac x2=\frac{-3+\sqrt5}{2},\\ {\rm tg}\frac x2=\frac{-3-\sqrt5}{2}, \end{array}\right.\qquad \left[\begin{array}{l} x=\frac\pi2+2\pi n,\\ x=2\arctg\left(\frac{-3+\sqrt5}{2}\right)+2\pi m,\\ x=2\arctg\left(\frac{-3-\sqrt5}{2}\right)+2\pi k, \end{array}\right. }
    где {n,m,k} - целые числа.
         Видно, что все полученные решения удовлетворяют ОДЗ.
  • Ответ

    • Ответ


    { \left[\begin{array}{l} x=\frac\pi2+2\pi n,\\ x=2\arctg\left(\frac{-3+\sqrt5}{2}\right)+2\pi m,\\ x=2\arctg\left(\frac{-3-\sqrt5}{2}\right)+2\pi k, \end{array}\right. }