Архив задач

6.11.2005

Первый член {a_1} числовой последовательности {\{a_n\}} равен 1. Для любого натурального {n>1} выполняется равенство {a_n=2\cdot(3a_{n-1}+5)} . Найти {a_{2005}} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Выразить {n} -й член последовательности через {n-1} -й, затем через {n-2} -й, затем через {n-3} -й, и т.д. После нескольких итераций увидеть закономерность, которая позволит выразить -й член последовательности через первый. Полученную формулу необходимо доказать с помощью метода математической индукции.
  • Решение

    • Решение

    Запишем закон рекурсии в виде {a_n=6a_{n-1}+10} . Тогда
    { a_n=6(6a_{n-2}+10)+10=6^2a_{n-2}+6\cdot10+10. }
    Далее
    { a_n=6^2(6a_{n-3}+10)+6\cdot10+10=6^3a_{n-3}+6^2\cdot10+6\cdot10+10. }
    Еще одна итерация дает
    { a_n=6^3(6a_{n-4}+10)+6^2\cdot10+6\cdot10+10= }

    { =6^4a_{n-4}+6^3\cdot10+6^2\cdot10+6\cdot10+10. }
    Теперь хорошо видна закономерность, которую можно продолжить вплоть до {a_1} :
    { a_n=6^{n-1}a_1+6^{n-2}\cdot10+6^{n-3}\cdot10+\ldots+6^2\cdot10+6\cdot10+10. }
    Учитывая, что {a_1=1} и вычисляя сумму геометрической прогрессии
    { (6^{n-2}+6^{n-3}+\ldots+6^2+6+1)\cdot10=\frac{6^{n-1}-1}{6-1}\,\cdot10=2(6^{n-1}-1), }
    получим
    { a_n=6^{n-1}+2(6^{n-1}-1)=3\cdot6^{n-1}-2. }
    Подставляя {n=2005} , получим ответ: {a_{2005}=3\cdot6^{2004}-2} .
         Замечание. Приведем строгое доказательство формулы {a_n=3\cdot6^{n-1}-2} методом математической индукции. При решении задачи на олимпиаде такого доказательства не требуется, однако, с математической точки зрения в приводимом далее доказательстве полезно разобраться.
         1) Базис индукции. Проверим доказываемое равенство при {n=1} . По условию первый член {a_1} числовой последовательности равен 1. Поэтому при {n=1} формула {a_n=3\cdot6^{n-1}-2} верна. Базис индукции доказан.
         2) Шаг индукции. Предположим, что доказываемое равенство верно при {n=k} , где {k} - произвольное натуральное число. Таким образом,
    { a_k=3\cdot6^{k-1}-2. }
    Теперь докажем, что равенство верно при {n=k+1} , то есть что
    { a_{k+1}=3\cdot6^k-2. }
    Действительно, по условию для любого {n} выполняется равенство {a_n=2\cdot(3a_{n-1}+5)} . При {n=k+1} получим
    { a_{k+1}=2\cdot(3a_k+5). }
    Воспользуемся предположением индукции: {a_k=3\cdot6^{k-1}-2} . Получим
    { a_{k+1}=2\cdot(3(3\cdot6^{k-1}-2)+5)=18\cdot6^{k-1}-12+10=3\cdot6^k-2, }
    что и требовалось доказать. Тем самым шаг индукции доказан.
         3) Следовательно, в силу метода математической индукции, доказываемое равенство верно для любого натурального числа {n} .
  • Ответ

    • Ответ

    см. решение