Архив задач

2.11.2004

Решить уравнение
{ 3^{\frac{2x+10}{6x-15}}-4\cdot3^{\frac{10x-40}{6x-15}}=5. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Заметить, что {\frac{10x-40}{6x-15}=2-\frac{2x+10}{6x-15}} , и выполнить замену {3^{\frac{2x+10}{6x-15}}=y>0} .
  • Решение

    • Решение

    ОДЗ уравнения: {x\ne\frac52} .
         Заметим, что
    { \frac{10x-40}{6x-15}=2-\frac{2x+10}{6x-15}. }
    Тогда уравнение записывается в виде
    { 3^{\frac{2x+10}{6x-15}}-4\cdot3^{ 2-\frac{2x+10}{6x-15}}=5. }

         Сделаем замену {3^{\frac{2x+10}{6x-15}}=y>0} . Получим уравнение
    { y-4\cdot\frac9y=5, }

    { y^2-5y-36=0, }

    { y_1=-4,\;y_2=9 }

         Первое решение, очевидно, не подходит. Решение {y=9} приводит к уравнению
    { 3^{\frac{2x+10}{6x-15}}=9, }

    { \frac{2x+10}{6x-15}=2, }

    { 2x+10=2(6x-15), }

    { 10x=40, }

    { x=4. }

         Это решение удовлетворяет ОДЗ.
  • Ответ

    • Ответ

    4.