Архив задач

4.11.2004

Найти все решения уравнения
{ {\rm tg}12x-{\rm tg}4x=\frac1{\sin16x}, }
принадлежащие отрезку {\left[-\frac\pi6,\frac\pi6\right]} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Функции в левой части уравнения выразить через синусы и косинусы соответствующих углов и привести к общему знаменателю. Путем домножения на необходимые выражения избавиться от знаменателя. Проверку на принадлежность ОДЗ провести непосредственно после отбора корней.
  • Решение

    • Решение

    ОДЗ уравнения:
    { \left\{\begin{array}{l} \cos12x\ne0,\\ \cos4x\ne0,\\ \sin16x\ne0. \end{array}\right. }
    Сначала решим уравнение.
    { \frac{\sin12x}{\cos12x}-\frac{\sin4x}{\cos4x}=\frac1{\sin16x} }

    { \frac{\sin12x\cos4x-\sin4x\cos12x}{\cos4x\cos12x}=\frac1{\sin16x}, }

    { \frac{\sin8x}{\cos4x\cos12x}=\frac1{\sin16x}, }

    { \sin8x\sin16x=\cos4x\cos12x, }

    { \cos8x-\cos24x=\cos16x+\cos8x, }

    { \cos16x+\cos24x=0, }

    { 2\cos20x\cos4x=0, }

    { \left[\begin{array}{l} \cos20x=0,\\ \cos4x=0. \end{array}\right. }

         Первое решение не подходит по ОДЗ. Из второго уравнения находим
    { x=\frac\pi{40}+\frac{\pi n}{20},\quad n\in{\mathbb Z}. }

         Теперь найдем те числа из этой серии, которые принадлежат отрезку
    { \left[-\frac\pi6,\frac\pi6\right]: }

    { -\frac\pi6\le \frac\pi{40}+\frac{\pi n}{20} \le\frac\pi6, }

    { -\frac{20\pi}3\le \pi+2\pi n \le\frac{20\pi}3, }

    { -\frac{23\pi}3\le 2\pi n \le\frac{17\pi}3, }

    { -\frac{23}6\le n \le\frac{17}6, }

    { n\in\{-3,-2,-1,0,1,2\}. }

         Осталось проверить, какие из оставшихся чисел удовлетворяют ОДЗ уравнения. Непосредственной проверкой убеждаемся, что для {n\in\{-3,2\}} соответствующие числа не лежат в ОДЗ. Значит, окончательным решением являются
    { x=\frac\pi{40}+\frac{\pi n}{20},\quad n\in\{-2,-1,0,1\}. }
  • Ответ

    • Ответ

    {x=\frac\pi{40}+\frac{\pi n}{20},\quad n\in\{-2,-1,0,1\}} .