Архив задач

6.11.2004

Найти все решения системы уравнений
{ \left\{\begin{array}{l} 4\sin^2 x+2\sin x\cdot\lg(y^2+9)+\lg^2(y^2+9)+7\sin x+2\lg(y^2+9)=-\frac12,\\ 2\cos^2 x+\sin x\cdot\lg(y^2+9)+3\sin x+3\lg(y^2+9)=\frac52. \end{array}\right. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Выполнить замену переменных
    { \left\{\begin{array}{l} \sin x=a,\\ \lg(y^2+9)=b. \end{array}\right. }
    В полученной системе избавиться от числового слагаемого, получив уравнение-следствие, которое решается с помощью разложения на множители.
  • Решение

    • Решение

    Сделаем замену переменных
    { \left\{\begin{array}{l} \sin x=a,\\ \lg(y^2+9)=b. \end{array}\right. }
    Получим систему уравнений
    { \left\{\begin{array}{l} 4a^2+2ab+b^2+7a+2b=-\frac12,\\ 2(1-a^2)+ab+3a+3b=\frac52, \end{array}\right. }

    { \left\{\begin{array}{l} 4a^2+2ab+b^2+7a+2b=-\frac12,\\ 2a^2-ab-3a-3b=-\frac12. \end{array}\right. }
    Вычтем из первого уравнение второе
    { 2a^2+3ab+b^2+10a+5b=0. }
    Оказывается, это выражение можно разложить на множители. Для этого можно сгруппировать слагаемые:
    { (2a^2+2ab+10a)+(b^2+ab+5b)=0, }

    { 2a(a+b+5)+b(b+a+5)=0, }

    { (2a+b)(a+b+5)=0. }
    Есть и другой метод разложения на множители. Нужно записать уравнение как уравнение от неизвестной, например, {a} , считая {b} фиксированным числом:
    { 2a^2+(3b+10)a+b^2+5b=0. }
    Решая квадратное уравнение, получаем:
    { D=(3b+10)^2-8(b^2+5b)=9b^2+60b+100-8b^2-40b= }

    { =b^2+20b+100=(b+10)^2, }

    { a=\frac{-3b-10\pm(b+10)}4; }

    { \left[\begin{array}{l} a=-\frac{b}{2},\\ a=-b-5. \end{array}\right. }
    Получаем то же самое разложение
    { (2a+b)(a+b+5)=0. }

         Теперь решение системы разбивается на два случая.
         1) {2a+b=0} , т.е. {b=-2a} . В этом случае второе уравнение системы принимает вид
    { 2a^2+2a^2-3a+6a=-\frac12, }

    { 8a^2+6a+1=0, }

    { a_1=-\frac12,\; a_2=\frac14. }
    Это дает совокупность двух решений
    { \left[ \begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} a=-\frac12,\\ b=1, \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} a=-\frac14,\\ b=\frac12. \end{array}\right. \end{array}\right. }

         2) {a+b+5=0} , т.е. {b=-a-5} . Второе уравнение системы принимает вид
    { 2a^2+a^2+5a-3a+3a+15=-\frac12, }

    { 6a^2+10a+31=0. }
    Данное уравнение не имеет решений.
         Вернемся к исходным неизвестным:
    { \left\{\begin{array}{l} \sin x=-\frac12,\\ \lg(y^2+9)=1, \end{array}\right.\qquad \left\{\begin{array}{l} \sin x=-\frac14,\\ \lg(y^2+9)=\frac12. \end{array}\right. }
    Из первой системы находим решения
    { x=(-1)^{n+1}\frac\pi6+\pi n, }

    { y^2+9=10,\;y^2=1,\;y=\pm1. }
    Во второй системе второе уравнение не имеет решений:
    { y^2+9=\sqrt{10},\;y^2=\sqrt{10}-9<0. }
    Значит, вторая система не имеет решений.
  • Ответ

    • Ответ

    {x=(-1)^{n+1}\frac\pi6+\pi n,\; y=\pm1} .