Архив задач

1.11.2003

Решить уравнение {5^x\cdot2^{\frac{2x-1}{x+1}}=50} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Прологарифмировать обе части по основанию 2 и свести уравнение к квадратному.
  • Решение

    • Решение

    ОДЗ уравнения задается условием {x\ne-1} . Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
    { x\cdot\log_2 5+\frac{2x-1}{x+1}=1+2\log_2 5. }
    После простейших преобразований получим квадратное уравнение
    { x^2\cdot\log_2 5+x(1-\log_2 5)-2(\log_2 5+1)=0. }
    Дискриминант этого уравнения равен
    { D=(1-\log_2 5)^2+8(\log_2 5+1)=(3\log_2 5+1)^2>0. }
    Получаем два решения
    { x_{1,2}=\frac{\log_2 5-1\pm(3\log_2 5+1)}{2\log_2 5}, }

    { x_1=\frac{\log_2 5-1+(3\log_2 5+1)}{2\log_2 5}=2, }

    { x_2=\frac{\log_2 5-1-(3\log_2 5+1)}{2\log_2 5}=-1-\frac1{\log_2 5}=-\log_5 10. }

         Оба решения удовлетворяют ОДЗ.
  • Ответ

    • Ответ

    2, {-\log_5 10} .