1.11.2002

Решить уравнение ${x^{\log_3\frac{x}{147}}\cdot21^{\log_3 7}=1}$ .

Подсказка

Прологарифмировать обе части равенства по основанию 3 и после преобразований сделать замену ${y=\log_3 x}$ .

ОДЗ уравнения задается условием ${x>0}$ . Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

${ \log_3\Biggl(x^{ \log_3\frac{x}{147}}\cdot21^{ \log_3 7}\Biggr)=0, }$

${ \log_3\Biggl(x^{ \log_3\frac{x}{147}}\Biggr) + \log_3\Biggl(21^{ \log_3 7}\Biggr)=0, }$

${ \log_3\frac{x}{147}\cdot\log_3 x + \log_3 7\cdot\log_3 21=0, }$

${ (\log_3 x-\log_3 147)\cdot\log_3 x + \log_3 7\cdot\log_3 21=0. }$

Сделаем замену ${y=\log_3 x}$ . Получим квадратное уравнение

${ (y-\log_3 147)\cdot y + \log_3 7\cdot\log_3 21=0, }$

${ y^2-y\cdot\log_3 147 + \log_3 7\cdot\log_3 21=0. }$

Так как ${\log_3 147=\log_3 7+\log_3 21}$ , то дискриминант

${ D=(\log_3 7+\log_3 21)^2-4\log_3 7\cdot\log_3 21=(\log_3 7-\log_3 21)^2, }$

и корни

${ y=\frac{\log_3 7+\log_3 21\pm(\log_3 7-\log_3 21)}2, }$

${ y_1=\log_3 7,\quad y_2=\log_3 21. }$

Возвращаясь к исходной переменной ${x}$ , получим

${ \log_3 x=\log_3 7,\quad \log_3 x=\log_3 21, }$

откуда ${x=7}$ или ${x=21}$ . Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

7, 21.