Архив задач

5.11.2002

Сравнить числа {5\log_{4639}4633+1} и {6\log_{4639}4634} . Ответ обосновать.

  • Подсказка

    • Подсказка

    Избавившись от логарифмов, привести исходные выражения к {1+a} и {(1+b)^5} соответственно. Воспользоваться неравенством {(1+b)^5>1+5b} при {b>0} .
  • Решение

    • Решение

    Применим формулы действия с логарифмами:
    { 5\log_{4639}4633+1 \;\vee\;~ 6\log_{4639}4634, }

    { \log_{4639}(4633^5\cdot4639) \;\vee\; \log_{4639}(4634^6), }

    { 4633^5\cdot4639 \;\vee\; 4634^6, }

    { \frac{4639}{4634} \;\vee\; \left(\frac{4634}{4633}\right)^5, }

    { 1+\frac{5}{4634} \;\vee\; \left(1+\frac{1}{4633}\right)^5. }
    Если возвести число, стоящее в правой части, в пятую степень, получим (согласно биному Ньютона или в результате непосредственного перемножения) сумму числа {1+\frac{5}{4633}} и еще некоторых положительных слагаемых. Следовательно,
    { \left(1+\frac{1}{4633}\right)^5 > 1+\frac{5}{4633}. }
    В то же время, очевидно
    { 1+\frac{5}{4633} > 1+\frac{5}{4634}. }
    Отсюда следует, что первое число меньше второго.
  • Ответ

    • Ответ

    Первое число меньше второго.