Архив задач

8.11.2002

Найти все пары чисел {(x,y)} , удовлетворяющих соотношению
{ \sqrt{2-|y|}\cdot\left(5\sin^2x-6\sin x\cos x-9\cos^2 x+3\sqrt[3]{33}\right)= }

{ =\arcsin^2 x+\arccos^2 x-\frac54\,\pi^2. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Показать, что при всех допустимых значениях переменных правая часть неотрицательна, а левая часть - неположительна.
  • Решение

    • Решение

    Так как
    { \arcsin x\in[-\pi/2,\;\pi/2],\quad \arccos x\in[0,\pi], }
    то правая часть уравнения удовлетворяет неравенству
    { \arcsin^2 x+\arccos^2 x-\frac54\,\pi^2\le0, }
    причем равенство достигается только для {x=-1} . Покажем, что
    { 5\sin^2x-6\sin x\cos x-9\cos^2 x+3\sqrt[3]{33}>0 }
    при любом {x} . Для этого произведем равносильные преобразования:
    { 5\sin^2x-6\sin x\cos x-9\cos^2 x+3\sqrt[3]{33}>0, }

    { 5\cdot\frac{1-\cos2x}2 - 3\sin2x - 9\cdot\frac{1+\cos2x}2+3\sqrt[3]{33}>0, }

    { 7\cos2x + 3\sin2x + 2 < 3\sqrt[3]{33}. }
    Применим метод введения дополнительного угла. Пусть
    { \cos\varphi=\frac7{\sqrt{58}},\quad \sin\varphi=\frac3{\sqrt{58}}. }
    Тогда получим
    { \sqrt{58}\cdot\cos(2x-\varphi) + 2 < 3\sqrt[3]{33}. }
    Чтобы доказать это неравенство, достаточно проверить, что {\sqrt{58}+2<3\sqrt[3]{33}} . Действительно,
    { \sqrt{58}+2<3\sqrt[3]{33}, }

    { (\sqrt{58}+2)^3<27\cdot33, }

    { 58\sqrt{58}+6\cdot58+12\sqrt{58}+8<891, }

    { 70\sqrt{58}<535, }

    { 14\sqrt{58}<107, }

    { 196\cdot58<107^2, }

    { 11368<11449 }
    - верное числовое неравенство.
         Итак, левая часть неравенства больше либо равна 0. Правая же, как замечено выше, меньше или равна 0. Поэтому равенство достигается только в том случае, когда
    { \sqrt{2-|y|}=0. }
    Значит, решением уравнения являются пары чисел {(-1,2)} , {(-1,-2)} .
  • Ответ

    • Ответ

    {(-1,2)} , {(-1,-2)} .