Архив задач

4.11.2000

Доказать, что уравнение
{ x+1=\log_{\sqrt{5}} (5^x+3)-3 \log_{125} (2000-5^{-x}) }
имеет два корня и вычислить сумму этих корней.

  • Подсказка

    • Подсказка

    Обозначить {t=5^x} . Воспользоваться теоремой Виета.
  • Решение

    • Решение

    Вначале заметим, что выражение в правой части имеет смысл при { 5^{x}>2000^{-1}.}
         Обозначим {t=5^x} , уравнение примет вид:
    { 5t=\frac{(t+3)^2}{2000-\frac{1}{t}}. }
    Выполнив элементарные преобразования, получим
    { t^2-9994t+14=0. }
    Это уравнение имеет 2 корня: {t_1=\frac{9994+\sqrt{9994^2-56}}{2}} и {t_2=\frac{9994-\sqrt{9994^2-56}}{2}} . Первый из них заведомо больше, чем {2000^{-1}} , покажем, что и {t_2} также удовлетворяет ОДЗ:
    { \frac{9994-\sqrt{9994^2-56}}{2}\vee\frac{1}{2000} }

    { (9994-\frac{1}{1000})^2 \vee 9994^2-56 }

    { -2\cdot 9,994 + 10^{-6} > -56. }
    Таким образом, уравнение имеет 2 корня с учетом ОДЗ. По теореме Виета произведение корней квадратного трехчлена { t^2-9994t+14=0} равно 14. Следовательно,
    { t_1+t_2=5^{x_1}\cdot5^{x_2}=5^{x_1+x_2}=14 }
    и {x_1+x_2=\log_5 14} .
  • Ответ

    • Ответ

    {\log_5 14} .