Архив задач

5.11.2000

Найти все действительные значения параметра {a} , для которых уравнение
{ \sin ^6 x+ \cos ^6 ^4 x+\cos ^4 x) }
имеет хотя бы одно решение.

  • Подсказка

    • Подсказка

    Выполнить стандартные тригонометрические преобразования, затем обозначить {t=\frac{1}{4}\sin^2 2x} и выразить {t} через {a} . Получить отсюда ограничения на {a} .
  • Решение

    • Решение

    Заметим, что {\sin ^6 x+ \cos ^6 x=(\sin ^2 x+ \cos ^2 x)(\sin ^4 x+ \cos ^4 x - \sin^2 x\cos^2 x)=\sin ^4 x+ \cos ^4 x - \sin^2 x\cos^2 x} , а {\sin ^4 x+ \cos ^4 x=(\sin ^2 x+ \cos ^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x=1-2\sin^2 x\cos^2 x} . Обозначая теперь {t=\sin^2 x\cos^2 x=\frac{1}{4}\sin^2 2x} , имеем:
    { t=\frac{a-1}{2a-3}. }
    Уравнение будет иметь решение относительно {x} тогда и только тогда, когда {0\le t \le \frac{1}{4}} . Остается решить двойное неравенство относительно {a} :
    { 0\le \frac{a-1}{2a-3} \le \frac{1}{4}. }
    Решение проводится стандартным способом, ответ: {\frac{1}{2}\leq a <1} .
  • Ответ

    • Ответ

    {\frac{1}{2}\leq a <1} .