Архив задач

9.11.2000

Через точку {A} , лежащую внутри шара радиуса {R} , проведены три взаимно перпендикулярных плоскости, пересекающих шар по трем кругам. найти сумму площадей этих кругов, если расстояние от центра шара до точки {A} равно {d} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Обозначить {d_1, d_2, d_3} расстояния от центра шара до трех данных плоскостей и выразить через них площади отсекаемых кругов
  • Решение

    • Решение

    Пусть расстояния от центра шара до трех данных плоскостей равны {d_1, d_2, d_3.} Из взаимной перпендикулярности плоскостей, в силу теоремы Пифагора, имеем равенство {d^2=d_1^2+d_2^2+d_3^2.}
         Поскольку радиус шара равен {R} , то радиус круга, по которому плоскость, находящаяся от центра шара на расстоянии {d_i,\; i=1,2,3} , пересекает шар равен {R_i=\sqrt{R^2-d_i^2} (снова по теореме Пифагора). Тогда сумма площадей указанных кругов равна
    { S_1+S_2+S_3=\pi R_1^2+\pi R_2^2+\pi R_3^2=\pi(3R^2-d_1^2-d_2^2-d_3^2)=\pi(3R^2-d^2). }
  • Ответ

    • Ответ

    {\pi(3R^2-d^2)} .