Две частицы находятся в вершинах правильного 2016-угольника. В начальный момент первая частица находится на расстоянии 45 сторон по часовой стрелке от второй. Затем одновременно они начинают совершать прыжки: вторая – против часовой стрелки через 100 сторон, а первая – по часовой стрелке через 83 стороны. Попадут ли они одновременно в одну вершину и если да, то через сколько прыжков?
Пусть первая частица прыгает через s сторон по часовой стрелке, вторая – через t сторон против часовой стрелки. Первоначально первая частица находится на расстоянии d сторон по часовой стрелке от второй. Перейдем в систему отсчета, связанную со второй частицей. То есть, вторая частица неподвижна, а первая совершает прыжки через s+t ребер по часовой стрелке. Заметим, что расстояние между частицами, отсчитываемое по часовой стрелке от первой ко второй, составляет 2016-d сторон. Занумеруем вершины многоугольника целыми числами от 0 до 2015 таким образом, что первоначально первая частица находится в вершине с номером 0, а вторая – в вершине с номером 2016-d. Пусть n – искомое количество прыжков. Тогда, чтобы первая частица попала в вершину 2016-d, должно выполняться соотношение Итак, надо найти натуральное n, для которого существует натуральное k такое, что Число 2016 дает остаток 3 при делении на 183. Следовательно, чтобы числитель давал остаток ноль при делении на 183, достаточно взять k=15. Тогда n=165.
