Решение
В правильной четырехугольной пирамиде обозначим через ,
, и длины стороны основания , боковой стороны ,
высоты и апофемы . Пусть - искомый
плоский угол при вершине пирамиды.
Способ 1. По теореме Пифагора
Найдем радиусы
вписанного и описанного шара. Обозначим их
и
соответственно.
Пусть
- середина
. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью
. Тогда радиус шара, вписанного в пирамиду, равен радиусу
окружности, вписанной в треугольник
. Площадь этого
треугольника равна
, а полупериметр
. Так как
, то
Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью
. Тогда радиус шара,
описанного около пирамиды, равен радиусу окружности, описанной около
треугольника
. По теореме синусов
Отметим, что мы
вывели общие формулы для радиусов шаров, вписанного и описанного
около правильной четырехугольной пирамиды.
По условию центры вписанного и описанного шаров совпадают. Тогда их
общий центр есть точка
, лежащая на высоте пирамиды. Поэтому
сумма радиусов вписанного и описанного шара равна высоте пирамиды:
. Получаем систему уравнений
Рассмотрим
отдельно третье уравнение:
Обозначим
. Заметим, что
, где
- искомый плоский угол
при вершине пирамиды. Разделив обе части уравнения на
, а
числитель и знаменатель дроби еще на
, получим
Так как
x>0, то
Дискриминант
, положительный корень
Получаем, что
. Отсюда
Следовательно,
.
Способ 2. Пусть
- центр вписанного и описанного шаров,
и
- точки касания вписанного шара. Тогда
,
.
Так как длины касательных, проведенных из точек
и
к
вписанному шару, равны, то
Треугольники
и
равны по трем сторонам. Заметим, что эти
треугольники прямоугольные. Так как
, то и
Треугольники
и
равны как прямоугольные треугольники
(прямой угол
) с общим катетом и равными гипотенузами
.
Следовательно,
.
Отсюда
Следовательно,
Теперь
и
.