1.11-10.2009

Функция двух переменных ${f(x,y)}$ положительна при всех ${(x,y)}$ , удовлетворяющих системе неравенств

${ \left\{ \begin{array}{l} y\ge x^2-8x+14,\\ y\ge x^2+2x-3. \end{array} \right. }$

При всех остальных ${(x,y)}$ функция ${f(x,y)}$ отрицательна. Верно ли, что при всех ${(x,y)}$ , удовлетворяющих неравенству ${y\le x^2-4x+7,}$ функция ${f(x,y)}$ отрицательна? Ответ обосновать.

Подсказка

Подсказка

Изобразить множества точек, удовлетворяющих неравенствам системы и третьему неравенству, и увидеть, что ответ в задаче положительный. Для доказательства необходимо
1) либо показать, что если точка ${(x,y)}$ удовлетворяет исходной системе, то тогда она удовлетворяет и неравенству ${y\ge x^2-4x+7.}$
2) либо доказать от противного: т.е. предположить, что не при всех ${(x,y),}$ удовлетворяющих неравенству ${y\le x^2-4x+7,}$ функция ${f(x,y)}$ отрицательна, и прийти к противоречию, доказав, что не существует такой точки ${(x,y),}$ которая удовлетворяет системе из трех неравенств

${ \left\{ \begin{array}{l} y\ge x^2-8x+14,\\ y\ge x^2+2x-3,\\ y\le x^2-4x+7. \end{array} \right. }$

Решение

Решение

При решении задачи желательно предварительно нарисовать три параболы и увидеть, что ответ на поставленный вопрос положительный. Докажем это.
Чтобы это доказать, с точки зрения логики требуется доказать импликацию

${ \left\{ \begin{array}{l} y\ge x^2-8x+14,\\ y\ge x^2+2x-3 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad y\ge x^2-4x+7 }$

.
Действительно, пусть эта импликация доказана. По условию левая часть импликации означает положительность функции ${f(x,y)}$ . Тогда из положительности функции ${f(x,y)}$ следует, что ${y\ge x^2-4x+7}$ . Поэтому, наоборот, из условия ${y \le x^2-4x+7}$ следует, что функция ${f(x,y)}$ отрицательна.
Теперь докажем требуемую импликацию. Для этого подберем положительные числа ${a}$ и ${b}$ такие, что два неравенства, умноженные на ${a}$ и ${b}$ приведут к третьему неравенству: