Архив задач

4.11-10-9.2009

Найти ненулевой многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число {\sqrt2+\sqrt[3]3} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Путем переноса одного из радикалов в левую часть равенства {a=\sqrt2+\sqrt[3]3} и последовательным возведением в соответствующую степень, избавиться от обеих иррациональностей.
  • Решение

    • Решение

    Пусть {a=\sqrt2+\sqrt[3]3} . Тогда {a-\sqrt2=\sqrt[3]3} . Отсюда
    { (a-\sqrt2)^3=3. }
    Возведем в куб и сгруппируем слагаемые:
    { a^3-3a^2\sqrt2+6a-2\sqrt2=3,}

    { a^3+6a-3=(3a^2+2)\sqrt2.}
    Возведем в квадрат:
    { (a^3+6a-3)^2=(3a^2+2)^2\cdot2, }

    { a^6+12a^4-6a^3+36a^2-36a+9=18a^4+24a^3+8, }

    { a^6-6a^4-6a^3+12a^2-36a+1=0. }
    Значит, искомый многочлен имеет вид
    { x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1. }
  • Ответ

    • Ответ

    {x^6-6x^4-6x^3+12x^2-36x+1} .