Архив задач

5.11-10.2009

Найти все значения параметра {a} , при которых отрезок {[4a,5a^2]} содержит целое число.

  • Подсказка

    • Подсказка

    Изобразить на плоскости две линии: {y=4x} и {y=5x^2} . При каждом значении {x=a} отрезок {[4a,5a^2]} есть отрезок вертикальной прямой {x=a} , заключенный между прямой {y=4x} и параболой {y=5x^2} . Найти область значений {a} , при которых заданный отрезок содержит хотя бы одно (не обязательно целое) число. Затем найденный диапазон значений {a} с учетом чертежа разбить на несколько случаев, каждый из которых рассмотреть отдельно.
  • Решение

    • Решение

    Сначала выясним, при каких {a} отрезок {[4a,5a^2]} содержит хотя бы одно число. Это условие равносильно тому, что {4a\le5a^2} , т.е.
    { a\in(-\infty,0]\cup[4/5,+\infty). }

         Решение разобьем на несколько случаев.
         1. Если длина отрезка больше либо равна 1, то этот отрезок обязательно содержит целое число. Это условие равносильно тому, что
    { 5a^2-4a\ge1, }

    { 5a^2-4a-1\ge0, }

    { (a-1)(a+1/5)\ge0, }

    { a\in(-\infty,-1/5]\cup[1,+\infty). }
    Остаются неисследованными значения параметра {a\in(-1/5,0]\cup[4/5,1)} .
         2. Пусть {a\in(-1/5,0]} . Тогда концы отрезка имеют разные знаки, поэтому отрезок содержит целое число 0.
         3. Пусть {a\in[4/5,1)} . В этом случае выполняются неравенства
    { \frac{16}5\le4a<4,\quad \frac{16}5\le5a^2<5. }
    Отсюда следует, что в рассматриваемом случае отрезок может содержать только целое число 4. Поэтому решим неравенство
    { 4a\le4\le5a^2 \quad\Leftrightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} 4a\le4,\\ 5a^2\ge4 \end{array} \right. \quad\Leftrightarrow }

    { \Leftrightarrow\quad \left\{ \begin{array}{l} a\le1,\\ a\in(-\infty,-2/\sqrt5\;]\cup[2/\sqrt5\;,+\infty) \end{array} \right. \quad\Leftrightarrow }

    { \Leftrightarrow\quad a\in(-\infty,-2/\sqrt5\;]\cup[2/\sqrt5\;,1). }
    В сочетании с условием {a\in[4/5,1)} , получаем решения в третьем случае: {a\in[2/\sqrt5\;,1)} .
         Объединяя полученные решения, получим общий ответ: {a\in(-\infty,0]\cup[2/\sqrt5\;,+\infty)} .
  • Ответ

    • Ответ

    {(-\infty,0]\cup[2/\sqrt5\;,+\infty)} .