Решение
1. Рассмотрим скрещивающиеся ребра тетраэдра
и
Пусть
- середина ребра
Тогда прямые
и
перпендикулярны ребру
(поскольку они являются одновременно медианами, биссектрисами и высотами в равносторонних треугольниках). Значит, прямая
перпендикулярна плоскости
Окончательно получаем, что ребра тетраэдра
и
перпендикулярны.
2. Поместим тетраэдр в коробку так, чтобы его ребра
и
были параллельны ребрам основания коробки. Это можно сделать, так как:
- выше доказано, что
и
перпендикулярны,
- длина этих ребер (12 см) меньше длин основания коробки (13 и 15 см).
3. Осталось проверить, что расстояние между
и
меньше высоты коробки (9 см). Нетрудно заметить, что расстояние между
и
равно высоте треугольника
Данный треугольник является равнобедренным с основанием
и боковыми сторонами
Отрезки
и
являются высотами равностороннего треугольника со стороной 12, откуда
Теперь расстояние
между ребрами
и
вычисляем как длину высоты в треугольнике
4. Поскольку
то тетраэдр можно уместить в коробку.