Архив задач

7.11-10.2009

В каждой точке декартовой плоскости с целочисленными координатами, кроме начала координат (0,0), построена окружность радиуса {10^{-6}} с центром в этой точке. Доказать, что любая прямая, проходящая через начало координат, пересекается хотя бы с одной из этих окружностей.

  • Подсказка

    • Подсказка

    Пусть {y=ax} - прямая, проходящая через начало координат. Требуется доказать, что эта прямая пересекается с одной из окружностей, описанных в задаче. Необходимо сформулировать на языке логики и чисел, что для этого требуется доказать. Вслед за этим требуется доказать сформулированное утверждение. Можно воспользоваться представлением любого действительного числа в виде конечной или бесконечной десятичной дроби.
  • Решение

    • Решение

    Достаточно рассмотреть прямые, задаваемые уравнением с угловым коэффициентом {y=ax} , где { a\ge0 } . Если число {a} рационально, т.е. {a=m/n} , то данная прямая проходит через целочисленную точку с координатами {(m,n)} .
         Пусть теперь {a} иррационально. Рассмотрим значения {x=1,2,\ldots,10^6+1} и соответствующие значения {y=ax} . Обозначим их {y_1,y_2,\ldots,y_n} , где {n=10^6+1} . Таким образом,
    { }
    Представим каждое из чисел {y_i} в виде (конечной или бесконечной) десятичной дроби. Рассмотрим первые 6 знаков этих десятичных дробей, идущие после запятой. Всего имеется {10^6} различных вариантов, которые могут принимать эти 6 знаков. Так как мы рассматриваем {n=10^6+1} чисел {y_i} , то найдутся два числа {y_i} и {y_j} , {1\le i<j\le n} , у которых первые 6 знаков после запятой одинаковы. Запишем это следующим образом:
    { }

    { y_j=aj=B,c_1c_2c_3c_4c_5c_6c_7'c_8'c_9'\ldots\,, }
    где {A} и {B} - целые части чисел {y_i} и {y_j} . Вычитая эти два равенства, получим
    { y_j-y_i=a(j-i)=(B-A)+\Delta}
    , где
    { \Delta=0.000000c_7'c_8'c_9'\ldots-0.000000c_7c_8c_9\ldots\,}
    . Понятно, что {-10^{-6}\le\Delta\le10^{-6}} . Поэтому полученное равенство означает, что точка прямой, соответствующая абсциссе {j-i} , находится от целочисленной точки с координатами {(j-i,B-A)} на расстоянии меньшем, чем {\Delta\le 10^{-6}} .
         Последнее означает, что прямая пересекает окружность с центром {(j-i,B-A)} . Требуемое утверждение доказано.
  • Ответ

    • Ответ

    Утверждение доказано.