Архив задач

2.11.2010

Найти все решения неравенства {\cos \frac{3}{2}-4x-x^2 \ge 0,} лежащие в интервале {\left( { - \frac{83}{20};0} \right)} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Решить исходное неравенство и корни многочлена левой части сравнить с числами {0} и {- \frac{83}{20}.}
  • Решение

    • Решение

    Сначала решим неравенство, учитывая, что {0\le\frac{3}{2}\le\frac{\pi }{2}} (т.е. {0 \le \cos \frac{3}{2} \le 1)} :
         
    { x^2 + 4x - \cos \frac{3}{2} \le 0, }

    { - 2 - \sqrt {4 + \cos \frac{3}{2}} \le x \le - 2 + \sqrt {4 + \cos \frac{3}{2}} . }

          Нетрудно заметить, что { - 2 + \sqrt {4 + \cos \frac{3}{2}} \ge 0} . Осталось сравнить { - 2 - \sqrt {4 + \cos \frac{3}{2}} } с { - \frac{83}{20}} :
         
    { \begin{array}{l} - 2 - \sqrt {4 + \cos \frac{3}{2}} \ge - \frac{83}{20}, \\ \frac{43}{20} \ge \sqrt {4 + \cos \frac{3}{2}} , \\ \frac{43^2}{20^2} \ge 4 + \cos \frac{3}{2}, \\ \frac{43^2}{20^2} - 4 \ge \cos \frac{3}{2}, \\ \left( {\frac{43}{20} - 2} \right)\left( {\frac{43}{20} + 2} \right) \ge \cos \frac{3}{2}, \\ \frac{3}{20} \cdot \frac{83}{20} \ge \cos \frac{3}{2} \\ \frac{249}{400} \ge \cos \frac{3}{2} \\ \end{array} }

         
         Последнее неравенство верно, поскольку из неравенства {\frac{\pi }{3} \le \frac{3}{2} \le \frac{\pi }{2}} следует, что {0 \le \cos \frac{3}{2} \le \frac{1}{2} \le \frac{249}{400}.}
  • Ответ

    • Ответ

    {x \in \left[ { - 2 - \sqrt {4 + \cos \frac{3}{2}} ;0} \right).}