Архив задач

3.11.2010

В параллелограмме со сторонами 3 и 5 проведены биссектрисы четырех внутренних углов. Найти отношение площади четырехугольника, образовавшегося при пересечении биссектрис, к площади параллелограмма.

  • Подсказка

    • Подсказка

    1. Установить, что четырехугольник, образованный при пересечении биссектрис, является прямоугольником.      

    2. Применить теорему синусов для треугольников, отсекаемых биссектрисами от параллелограмма.

  • Решение

    • Решение

    Решим задачу в общем виде для параллелограмма со сторонами {a,b} , где {a < b < 2a} .
         
          3.11.2010.jpg
         
          1. Пусть {\begin{array}{l} \angle ABC = \angle CDA = 2\alpha , \\ \angle DAB = \angle BCD = 2\beta , \\ \end{array} \quad 2\alpha + 2\beta = \pi } , {AD = BC = a} , {AB = CD = b} .
         По условию задачи {\angle DAQ = \beta ,\quad \angle ADQ = \alpha ,\quad \alpha + \beta = \frac{\pi }{2}} . Следовательно, {\angle AQD} - прямой угол. Аналогичным образом покажем, что {\angle BTC} - прямой угол.
         Легко видеть, что {AP\vert \vert CL} , {DM\vert \vert BN} . Следовательно, четырехугольник {QRTF} является прямоугольником.
         
         Найдем стороны прямоугольника {QRTF} . Из п. 1 следует, что {QR} - высота параллелограмма {ALCP} , а {RT} - высота {h_{DMBN}} параллелограмма {DMBN} .
         Так как {\angle ADM = \angle AMD = \alpha } , то треугольник {AMD} - равнобедренный, {AM = AD = a} . Следовательно, {MB = b - a} , {DN = MB = b - a} . По теореме синусов {\frac{DM}{\sin 2\beta } = \frac{AD}{\sin \alpha }} , следовательно
         
    { BN = DM = a \cdot \frac{\sin 2\beta }{\sin \alpha }. }

         
         Вычислим двумя способами площадь {DMBN} :
         
    { \begin{array}{l} S_{DMBN} = RT \cdot DM = RT \cdot a \cdot \frac{\sin 2\beta }{\sin \alpha }, \\ S_{DMBN} = DN \cdot h_{DMBN}=DN \cdot h_{ABCD} = (b - a) \cdot AD \cdot \sin 2\alpha = (b - a) \cdot a \cdot \sin 2\alpha \\ \end{array} }

         
         Получаем, что
         
    { \begin{array}{l} RT \cdot a \cdot \frac{\sin 2\beta }{\sin \alpha } = (b - a) \cdot a \cdot \sin 2\alpha , \\ RT = \frac{(b - a) \cdot \sin 2\alpha \cdot \sin \alpha }{\sin 2\beta } \\ \end{array} }

         
         4. Так как {\angle DAP = \angle DPA = \beta } , то треугольник {APD} - равнобедренный, {DP = AD = a} . Следовательно, {PC = b - a} , {AL = PC = b - a} . По теореме синусов {\frac{AP}{\sin 2\alpha } = \frac{AD}{\sin \beta }} , следовательно
         
    { CL = AP = a \cdot \frac{\sin 2\alpha }{\sin \beta }. }

         
         Вычислим двумя способами площадь {ALCP} :
         
    { \begin{array}{l} S_{ALCP} = RQ \cdot AP = RQ \cdot a \cdot \frac{\sin 2\alpha }{\sin \beta }, \\ S_{ALCP} = AL \cdot h_{ALCP} = AL \cdot h_{ABCD} = (b - a) \cdot AD \cdot \sin 2\alpha = (b - a) \cdot a \cdot \sin 2\alpha \\ \end{array} }

         
         Получаем, что
         
    { \begin{array}{l} RQ \cdot a \cdot \frac{\sin 2\alpha }{\sin \beta } = (b - a) \cdot a \cdot \sin 2\alpha , \\ RQ = \frac{(b - a) \cdot \sin 2\alpha \cdot \sin \beta }{\sin 2\alpha } = (b - a) \cdot \sin \beta \\ \end{array} }

         
         Получаем, что площадь {QRTF} равна
         
    { S_{QRTF} = RT \cdot RQ = \frac{(b - a) \cdot \sin 2\alpha \cdot \sin \alpha }{\sin 2\beta } \cdot (b - a) \cdot \sin \beta = \frac{\left( {b - a} \right)^2 \cdot \sin 2\alpha \cdot \sin \alpha }{2 \cdot \cos \beta }. }

         
         Поскольку {\alpha + \beta = \frac{\pi }{2}} , {\cos \beta = \sin \alpha } , то {S_{QRTF} = \frac{\left( {b - a} \right)^2 \cdot \sin 2\alpha }{2}} .
         Площадь {S_{ABCD} = AB \cdot h_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin 2\alpha = a \cdot b \cdot \sin 2\alpha } . Значит,
         
    { \frac{S_{QRTF} }{S_{ABCD} } = \frac{\left( {b - a} \right)^2}{2 \cdot a \cdot b}. }

         
         Осталось подставить в полученную формулу исходные данные {a = 3, b = 5} .
  • Ответ

    • Ответ

    {\frac{S_{QRTF} }{S_{ABCD} } = \frac{2}{15}} .