Архив задач

4.11.2010

Определить все значения параметра {a} , при которых уравнение {x + \sqrt {x\left( {a - x} \right)} = 1} имеет хотя бы одно решение.

  • Подсказка

    • Подсказка

    Избавиться от иррациональности в уравнении, приведя его к квадратному уравнению, и рассмотреть возможные ситуации для знака дискриминанта.
  • Решение

    • Решение

    Сначала преобразуем исходное уравнение:
    { \begin{array}{l} x + \sqrt {x\left( {a - x} \right)} = 1, \\ \sqrt {x\left( {a - x} \right)} = 1 - x, \\ \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {x\left( {a - x} \right) = \left( {1 - x} \right)^2} \hfill \\ {1 - x \ge 0} \hfill \\ \end{array} }} \right. \\ \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {ax - x^2 = 1 - 2x + x^2} \hfill \\ {x \le 1} \hfill \\ \end{array} }} \right. \\ \left\{ {{\begin{array}{*{20}c} {2x^2 - (2 + a)x + 1 = 0} \hfill \\ {x \le 1} \hfill \\ \end{array} }} \right. \\ \end{array} }
    Формула корней квадратного трехчлена {2x^2 - (2 + a)x + 1} имеет вид:
    { x = \frac{2 + a\pm \sqrt {\left( {2 + a} \right)^2 - 8} }{4} = \frac{2 + a\pm \sqrt {a^2 + 4a - 4} }{4}. }
    1. Если {a^2 + 4a - 4 \le 0} , то уравнение не имеет решений. Это условие выполнено при { - 2 - \sqrt 8 \le a \le - 2 + \sqrt 8 } .
         2. Если {a^2 + 4a - 4 = 0} (т.е. если {a = - 2\pm \sqrt 8 )} , то {x = \frac{2 +a}{4}} .
         Легко заметить, что при {a = - 2 + \sqrt 8 \quad x = \frac{2 + a}{4} = \frac{\sqrt 8 }{4} = \frac{\sqrt 2 }{2} \le 1} , а
          при {a = - 2 - \sqrt 8 \quad x = \frac{2 + a}{4} = - \frac{\sqrt 8 }{4} = - \frac{\sqrt 2 }{2} \le 1} . Таким образом, в обоих случаях корень не больше 1 и, следовательно, является решением уравнения.
         3. Пусть теперь {a^2 + 4a - 4 \ge 0} . Тогда квадратный трехчлен {2x^2 - (2 + a)x + 1} имеет два различных корня.
         По теореме Виета произведение этих корней равно {\frac{1}{2}} , то есть эти корни имеют одинаковый знак. Если оба корня отрицательны, то они оба меньше 1. Если же оба корня положительны, то среди них один меньше единицы (иначе их произведение будет больше {\frac{1}{2})} . Итак, при {a^2 + 4a - 4 \ge 0} уравнение всегда имеет хоть одно решение.
  • Ответ

    • Ответ

    Уравнение имеет хотя бы одно решение при {a \in \left( { - \infty ; - 2 - \sqrt 8 } \right] \cup \left[ { - 2 + \sqrt 8 ; + \infty } \right).}