Архив задач

5.11.2010

Известно, что натуральные числа {a,b} удовлетворяют двум условиям:
     - сумма {a} и {b} равна 555,
     - наименьшее общее кратное {a} и {b} в 26 раз больше, чем их наибольший общий делитель.
     Найти {a} и {b} .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Использовать каноническое разложение чисел {a} и {b} (то есть, разложение в произведение простых сомножителей).
  • Решение

    • Решение

    Пусть канонические разложения {a} и {b} имеют вид
    { a = \prod\limits_{i = 1}^s {p_i^{k_i } } ,\quad \quad b = \prod\limits_{i = 1}^s {p_i^{m_i } } ,\quad k_i \ge 0,m_i \ge 0. }
    Тогда нетрудно заметить, что {\frac{\left[ {a,b} \right]}{\left( {a,b} \right)} = \frac{\prod\limits_{i = 1}^s {p_i^{\max (k_i ,m_i )} } }{\prod\limits_{i = 1}^s {p_i^{\min (k_i ,m_i )} } } = \prod\limits_{i = 1}^s {p_i^{\left| {k_i - m_i } \right|} } = 13^1} . Отсюда следует, что показатели степеней в каноническом разложении {a} и {b} одинаковы, кроме {p_i = 13} и {p_j = 2} . Возможны четыре варианта:
    {\begin{array}{l} a) k_i = m_i + 1,\quad k_j = m_j + 1;\\ b) k_i = m_i - 1,\quad k_j = m_j + 1;\\ c) k_i = m_i + 1,\quad k_j = m_j – 1;\\ d) k_i = m_i - 1,\quad k_j = m_j - 1. \end{array} }
    Если обозначить {c = \prod\limits_{\begin{array}{l} t = 1 \\ t \ne i,j \\ \end{array}}^s {p_t^{k_t } } ,} то, соответственно, имеем четыре варианта
    {\begin{array}{l} a) a = 26c,\quad b = c;\\ b) a = 2c,\quad b = 13c;\\ c) a = 13c,\quad b = 2c;\\ d) a = c,\quad b = 26c. \end{array} }
    Воспользуемся условием {a + b = 555} . В первом и четвертом случае получаем уравнение {27c = 555} , не имеющее решений в целых числах. Во втором и третьем случае имеем уравнение {15c=555} . Тогда {c=37} , и задача имеет два ответа.
  • Ответ

    • Ответ

    481 и 74, или 74 и 481.