Архив задач

6.11.2010

На числовой прямой отложены точки с координатами {a_k = k \cdot \sqrt 2,\quad k=1,2,3,\ldots} Вправо от точки 0, откладывается отрезок, длина которого меняется, причем каждый следующий раз отрезок откладывается от конца предыдущего отрезка. Начальная длина отрезка равна 1. Если отрезок, отложенный в очередной раз, закрывает менее 5 точек {a_k } , то длина отрезка увеличивается на 1, если более 5 точек - уменьшается на 1, если же отрезок закрывает ровно 5 точек {a_k } , то его длина остается прежней. Верно ли, что, начиная с некоторого момента времени, длина откладываемого отрезка будет постоянной? Ответ обосновать.

  • Подсказка

    • Подсказка

    Ответ: НЕВЕРНО. Доказать методом от противного, получив противоречивые условия на установившуюся постоянную длину отрезка.
  • Решение

    • Решение

    Из условия следует, что длина отрезка всегда является целым числом, и концы отрезка всегда имеют целочисленные координаты. Предположим противное, т.е. что, начиная с некоторого момента времени, длина откладываемого отрезка будет постоянной. Это означает, что существуют целые {u,v} такие, что каждый из отрезков {\left[ {u;u + v} \right],\quad \left[ {u + v;u + 2v} \right],\quad \left[ {u + 2v;u + 3v} \right],...} Накрывает ровно 5 точек последовательности {a_k} . При этом в силу иррациональности {\sqrt 2 } ни одно число вида {u + i \cdot v,\quad i \ge 0} не совпадает ни с одним числом вида {a_k } .
         Предположим, что первое число на отрезке {\left[ {u;u + v} \right]} имеет номер {r} , т.е.
    { a_{r - 1} \le u \le a_r. }

         Тогда на отрезке {\left[ {u + i \cdot v;u + (i + 1)v} \right],\quad i \ge 0} находятся числа {a_{r + 5i} ,...,a_{r + 5i + 4} } , а на отрезке {\left[ {u;u + (i + 1)v} \right],\quad i \ge 0} находятся числа {a_r ,...,a_{r + 5i + 4}} . В результате имеем неравенства
         
    { (r - 1) \cdot \sqrt 2 \le u \le r \cdot \sqrt 2 , }

    { - r \cdot \sqrt 2 \le - u \le (1 - r) \cdot \sqrt 2 , }

         и для любого {i \ge 0}
    { (r + 5i + 4) \cdot \sqrt 2 \le u + (i + 1)v \le (r + 5(i + 1)) \cdot \sqrt 2 . }
    Сложив последние два неравенства, получаем для любого {i \ge 0}
    { \begin{array}{l} (5i + 4) \cdot \sqrt 2 \le (i + 1)v \le (5i + 6) \cdot \sqrt 2 , \\ \left( {5 - \frac{1}{i + 1}} \right)\sqrt 2 \le v \le \left( {5 + \frac{1}{i + 1}} \right)\sqrt 2 . \\ \end{array} }
    При {i = 1} последнее неравенство имеет вид {\frac{9}{2}\sqrt 2 \le v \le \frac{11}{2}\sqrt 2 .} Ему удовлетворяет единственное целое число 7. С другой стороны, существует {m \ge 0} , при котором {\left( {5 - \frac{1}{m + 1}}\right)\sqrt 2 \ge 7} . Действительно,
    { \begin{array}{l} \sqrt 2 \ge \frac{7(m + 1)}{5m + 4}, \\ 2 \ge \left( {\frac{7(m + 1)}{5m + 4}} \right)^2, \\ 2\left( {5m + 4} \right)^2 \ge 49\left( {m + 1} \right)^2, \\ 50 \cdot m^2 + 80 \cdot m + 32 \ge 49 \cdot m^2 + 98 \cdot m + 49, \\ m^2 - 18 \cdot m - 17 \ge 0. \\ \end{array} }

         Последнее же неравенство, очевидно, имеет положительные решения. Все сказанное вместе приводит нас к противоречию: {v = 7} и {v \ge 7}
  • Ответ

    • Ответ

    НЕВЕРНО.