Архив задач

1.10.2010

Найти все числа {x} , {y} , при которых верно равенство
     
{ 4x^2 - 4xy\sqrt 5 + 6y^2 + 2y\sqrt 7 - \frac{2y}{\sqrt 7 } + \frac{43}{7} = 1. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    В левой части данного равенства выделить сумму двух полных квадратов.
  • Решение

    • Решение

    Последовательно выделим полный квадрат
    { \begin{array}{l} 4x^2 - 4xy\sqrt 5 + 6y^2 + 2y\sqrt 7 - \frac{2y}{\sqrt 7 } + \frac{43}{7} = 1, \\ \left( {2x - y\sqrt 5 } \right)^2 + y^2 + \frac{12y}{\sqrt 7 } + \frac{43}{7} = 1, \\ \left( {2x - y\sqrt 5 } \right)^2 + \left( {y + \frac{6}{\sqrt 7 }} \right)^2 + 1 = 1, \\ \left( {2x - y\sqrt 5 } \right)^2 + \left( {y + \frac{6}{\sqrt 7 }} \right)^2 = 0. \\ \end{array} }

         Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю. Следовательно, получаем единственное решение уравнения:
    { \left \{ \begin{array}{l} 2x-y\sqrt{5}=0\\ y+\frac{6}{\sqrt{7}}=0 \end{array} \right. }

         Решая полученную систему, получаем {x=-\frac{3\sqrt 5 }{\sqrt 7 },\;y=- \frac{6}{\sqrt 7 }.}
  • Ответ

    • Ответ

    {\left( - \frac{3\sqrt 5 }{\sqrt 7 };\; - \frac{6}{\sqrt 7 }\right).}