Архив задач

2.10.2010

Пусть две последовательности чисел {(x_0 ,x_1 ,\ldots ,x_{2010} )} , {(y_0 ,y_1 ,\ldots ,y_{2010} )} составлены по следующим правилам: а) {x_0 = 3,\mbox{ }x_1 = \frac{1}{2},\mbox{ }y_0 = 1,\mbox{ }y_1 = \frac{1}{6},} б) {x_{i + 1} = x_{i - 1} + 5x_i } и {y_{i + 1} = y_{i - 1} - 5y_i } для {i = 1,\ldots ,2009} . Вычислить величину {x_{2010} y_{2009} + x_{2009} y_{2010} } .

  • Подсказка

    • Подсказка

    Выразить сумму {x_{i+1} y_i+x_i y_{i+1}} через элементы с меньшими номерами.
  • Решение

    • Решение

    Заметим, что в силу правила б)
    { x_{i + 1} y_i + x_i y_{i + 1} = (x_{i - 1} + 5x_i )y_i + x_i (y_{i - 1} - 5y_i ) = }

    { = x_i y_{i - 1} + x_{i - 1} y_i }
    Поэтому
    { x_{2010} y_{2009} + x_{2009} y_{2010} = x_{2009} y_{2008} + x_{2008} y_{2009} = \ldots = }

    { = x_i y_{i - 1} + x_{i - 1} y_i = x_2 y_1 + x_1 y_2 = x_1 y_0 + x_0 y_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + 3 \cdot \frac{1}{6} = 1. }
  • Ответ

    • Ответ

    1.