Архив задач

5.10.2010

Найти все решения системы уравнений
{ \left\{ \begin{array}{l} \frac{x^3}{y^2} + \frac{y}{x} = 5\\ \frac{8y}{x^2} - \frac{x}{y} = 1 \end{array} \right. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Выполнить замену переменных {t=\frac{x}{y}, u=\frac{x^2}{y}.}
  • Решение

    • Решение

    Произведем сначала замену переменных {t = \frac{x}{y}} :
    { \left\{ \begin{array}{l} x \cdot t^2 + \frac{1}{t} = 5\\ \frac{8}{xt} - t = 1\\ \end{array} \right. }

         Далее обозначим {u = xt:}
         
    { \left\{ \begin{array}{l} ut + \frac{1}{t} = 5\\ \frac{8}{u} - t = 1\\ \end{array} \right. }

         Из второго уравнения выражаем {u = \frac{8}{t + 1}.} Тогда из первого уравнения можно составить квадратное уравнение:
         
    { \begin{array}{l} \frac{8t}{t + 1} + \frac{1}{t} = 5,\\ 8t^2 + t + 1 = 5t(t + 1),\\ 3t^2 - 4t + 1 = 0.\\ \end{array} }

         Решая последнее уравнение, получаем корни {t_1 = 1,\quad t_2 = \frac{1}{3}.} Тогда {u_1 = 4,\quad u_2 = 6} . Отсюда с учетом замены переменных следует:
    { \left[ \begin{array} {l} \left\{ \begin{array} {l} x = 4\\ y = 4 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array} {l} x = 18\\ y = 54 \end{array} \right. \end{array} \right. }
  • Ответ

    • Ответ

    {\{(4;4),(18;54)\}.}