Архив задач

2.9.2010

Решить уравнение {x^2 + \frac{9x^2}{\left| {x + 3} \right|^2} = 7.} />

  • Подсказка

    • Подсказка

    В левой части уравнения выделить полный квадрат и произвести замену {y=\frac{x^2}{x+3}.}
  • Решение

    • Решение

    Во-первых, заметим, что {\left| {x + 3} \right|^2 = \left( {x + 3} \right)^2.} Далее выделим полный квадрат
    { \begin{array}{l} x^2 + \frac{9x^2}{\left| {x + 3} \right|^2} = 7, \\ x^2 + \frac{9x^2}{\left( {x + 3} \right)^2} = 7, \\ \left( {x - \frac{3x}{x + 3}} \right)^2 + \frac{6x^2}{x + 3} = 7, \\ \left( {\frac{x^2}{x + 3}} \right)^2 + \frac{6x^2}{x + 3} = 7. \end{array} }

         Сделаем замену переменных {y = \frac{x^2}{x + 3}.} Тогда {y^2 + 6y - 7 =0,} откуда {y_1 = 1,\,y_2 = - 7.}
         Если {y = 1} , то
    { \begin{array}{l} \frac{x^2}{x + 3} = 1, \\ x^2 - x - 3 = 0, \\ x = \frac{1\pm \sqrt {13} }{2} \end{array} }

         Если {y = - 7} , то
    { \begin{array}{l} \frac{x^2}{x + 3} = - 7, \\ x^2 + 7x + 21 = 0, \\ \emptyset \end{array}}
  • Ответ

    • Ответ

    {x = \frac{1\pm \sqrt {13} }{2}.}