Архив задач

4.11.2011

При подготовке к экзамену три школьника решали 100 задач. Каждый школьник решил по 60 задач, причем каждую задачу кто-нибудь решил. Задача считается трудной, если ее решил только один школьник. Легкой считается задача, которую решили все три школьника. Каких задач больше - легких или трудных? Насколько?

  • Подсказка

    • Подсказка

    Разбить множество всех задач на непересекающиеся подмножества и ввести переменные, соответствующие количеству элементов в получившихся подмножествах.
  • Решение

    • Решение

    Пусть {x_i} - количество задач, решенных только {i} -м учеником, {y_{ij}} - количество задач, решенных только {i} -м и {j} -м учениками, {z} - количество задач, решенных всеми учениками (число легких задач). Тогда число трудных задач равно {x_1+x_2+x_3.} Исходя из условия задачи составляем систему из четырех линейных уравнений относительно 7 неизвестных:
    { \left\{ \begin{array}{l} x_1+x_2+x_3+y_{12}+y_{13}+y_{23}+z=100\\ x_1+y_{12}+y_{13}+z=60\\ x_2+y_{12}+y_{23}+z=60\\ x_3+y_{13}+y_{23}+z=60 \end{array} \right.}
    Складывая второе, третье и четвертое уравнения системы, приходим к уравнению
    {(x_1+x_2+x_3)+2(y_{12}+y_{13}+y_{23})+3z=180 \;\;\;\;\; (*)}
    Из первого уравнения системы, предварительно умноженного на 2:
    {2(x_1+x_2+x_3)+2(y_{12}+y_{13}+y_{23})+2z=200}
    вычитаем полученное уравнение (*). Откуда заключаем, что {(x_1+x_2+x_3)-z=20.} Последнее равенство и дает ответ: трудных задач на 20 больше, чем легких.
  • Ответ

    • Ответ

    Трудных задач на 20 штук больше, чем легких.