Архив задач

5.11.2011

Решить неравенство
\log_{\cos x}\frac{(x^2-6x-2)}{25} &gt 0 }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Привести обе части неравенства к одинаковому основанию {\cos x} и избавиться от логарифмов, учитывая, что {\cos x < 1} на ОДЗ.
  • Решение

    • Решение

    Определим сначала ОДЗ данного неравенства:
    { \left\{ \begin{array}{l} x^2-6x-2&gt 0 \Leftrightarrow x\in(-\infty,3-\sqrt{11})\cup(3+\sqrt{11},+\infty)\\ 0&lt \cos x&lt 1 \Leftrightarrow x\in(2\pi k-\frac{\pi}{2},2\pi k)\cup(2\pi k,2\pi k+\frac{\pi}{2}), k\in \mathbb{Z} \end{array} \right.}

         Перепишем исходное неравенство в виде
    {\log_{\cos x}(x^2-6x-2)&gt \log_{\cos x}25.}

         С учетом ОДЗ из последнего неравенства получаем
    {x^2-6x-2&lt 25 \Leftrightarrow x\in(-3;9)}
    .
         Изображая полученный результат на координатной оси совместно с ОДЗ, получаем, что {x\in(-\frac{\pi}{2},3-\sqrt{11})\cup(3+\sqrt{11},\frac{5\pi}{2}).}
    5.11.2011.jpg
  • Ответ

    • Ответ

    {x\in(-\frac{\pi}{2},3-\sqrt{11})\cup(3+\sqrt{11},\frac{5\pi}{2}).}