Архив задач

5.10.2011

Найти все пары целых чисел {(x,y),} для которых справедливо равенство
{ x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y^2. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    В левой части равенства сгруппировать пары множителей (первый с четвертым, второй с третьим) и произвести замену переменной {z=x^2+8x+\frac{7}{2}.}
  • Решение

    • Решение

    Преобразуем левую часть равенства, сгруппировав первую с четвертой, а вторую соответственно с третьей скобкой:
    { (x^2 + 8x)(x^2 + 8x + 7) = y^2 \;\;\;\;(*) }
    Сделаем замену переменной {z=x^2+8x+\frac{7}{2} \Rightarrow \in \mathbb{Z}.} Из равенства (*) получаем {\left( z-\frac{7}{2}\right) \left(z + \frac{7}{2}\right) = y^2 \Leftrightarrow z^2-\frac{49}{4}=y^2} , что эквивалентно {(2z-2y)(2z+2y)=49.} Поскольку {(2z \pm 2y) \in \mathbb{Z},} а {49 = 1 \cdot 49 = 7 \cdot 7 = 49 \cdot 1 = - 1 \cdot ( - 49) = ( - 7) \cdot ( - 7) = ( - 49) \cdot ( - 1),} то возможны только следующие шесть вариантов:
    { 1) \left \{ \begin{array}{l} 2z-2y=1\\ 2z+2y=49 \end{array} \right. }

    { 2) \left \{ \begin{array}{l} 2z-2y=7\\ 2z+2y=7 \end{array} \right. }

    { 3) \left \{ \begin{array}{l} 2z-2y=49\\ 2z+2y=1 \end{array} \right. }

    { 4) \left \{ \begin{array}{l} 2z-2y=-1\\ 2z+2y=-49 \end{array} \right. }

    { 5) \left \{ \begin{array}{l} 2z-2y=-7\\ 2z+2y=-7 \end{array} \right. }

    { 6) \left \{ \begin{array}{l} 2z-2y=-49\\ 2z+2y=-1 \end{array} \right. }
    Решаем каждую из полученных систем методом исключения неизвестных и для каждого случая определяем соответствующие значения переменной {x:}
    { 1) \left \{ \begin{array}{l} \end{array} \right. \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} \end{array} \right. }

    { 2) \left \{ \begin{array}{l} \end{array} \right. \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} \end{array} \right. }

    { 3) \left \{ \begin{array}{l} \end{array} \right. \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} \end{array} \right. }

    { 4) \left \{ \begin{array}{l} \end{array} \right. \Rightarrow }

    { 5) \left \{ \begin{array}{l} \end{array} \right. \Rightarrow \left [ \begin{array}{l} \end{array} \right. }

    { 6) \left \{ \begin{array}{l} \end{array} \right. \Rightarrow }
    В итоге получаем 10 искомых пар {(x,y):}
    {(1;12),(1; - 12),( - 9;12),( - 9; - 12),(0;0),( - 8;0),( - 4; - 12),( - 4;12),( - 1;0),( - 7;0).}
  • Ответ

    • Ответ


    {(1;12),(1; - 12),( - 9;12),( - 9; - 12),(0;0),( - 8;0),( - 4; - 12),( - 4;12),( - 1;0),( - 7;0).}