Архив задач

3.09.2011

Решите систему уравнений
{ \left \{ \begin{array}{l} x + xy + y = 2 + 3\sqrt2\\ x^2 + y^2 = 6 \end{array} \right. }

  • Подсказка

    • Подсказка

    Заметить, что данная система симметрична относительно замены {x} на {y} , и наоборот. Произвести замену {u=x+y, v = x\cdot y.}
  • Решение

    • Решение

    Заметим, что данная система симметрична относительно замены {x} на {y} , и наоборот. В связи с этим сделаем замену
    {u=x+y,\; y \;\;\;\;\; (*)}
    Исходная система примет вид
    { \left \{ \begin{array}{l} u+v=2+3\sqrt{2} \;\;\;\;\;\;\; (**)\\ u^2-2v=6 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; (***) \end{array} \right. }
    Умножив уравнение (**) на 2 и сложив с (***), получим {u^2 + 2u = 10 + 6\sqrt 2 \Leftrightarrow \;\left( {u + 1} \right)^2 = 11 + 6\sqrt2 = \left( {3 + \sqrt 2 } \right)^2.} Отсюда
    { \left [ \begin{array}{l} \end{array} \right. }
    Используя (**), находим соответствующие найденным {u} значения переменной {v:}
    { \left [ \begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} \sqrt{2} \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array}{l} \end{array} \right. \end{array} \right. }
    С учетом замены (*) получаем совокупность двух систем
    { \left [ \begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} {x+y=2+\sqrt{2}}\\ {x \cdot \sqrt{2}} \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array}{l} {x+y=-4-\sqrt{2}}\\ {x \cdot \end{array} \right. \end{array} \right. }
    После решения первой системы методом исключения неизвестной, получаем две пары решений
    { \left [ \begin{array}{l} \left \{ \begin{array}{l} \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array}{l} \end{array} \right. \end{array} \right. }
    При решении второй системы можно заметить (используя теорему, обратную к теореме Виета), что искомые переменные {x,y} являются корнями квадратного уравнения {t^2-pt+q=0,} где {p=-4-\sqrt{2},\; q=6+4\sqrt{2}.} Указанное уравнение не имеет действительных корней, поскольку его дискриминант - отрицателен. Следовательно, вторая система решений не имеет. В итоге получаем, что исходная система уравнений решениями имеет две пары чисел: {\{(2;\;\sqrt{2});\;(\sqrt{2};\;2)\}.}
  • Ответ

    • Ответ

    {\{(2;\;\sqrt{2});\;(\sqrt{2};\;2)\}.}