Архив задач

4.09.2011

В течение первых {x} лет население города увеличивалось ежегодно на 50%. В течение последующих {y} лет оно уменьшалось на {\frac{388}{9}\ } ежегодно. Затем оно еще уменьшалось на {\frac{50}{3}\ } в год в течение {z} лет. В результате население города удвоилось. Определить переменные {x,y,z} , зная, что это целые числа.

  • Подсказка

    • Подсказка

    Заметить, что увеличение числа {a} на {m\\ } означает умножение {a} на {(1+\frac{m}{100})} , а уменьшение на {n\\ } - на {(1-\frac{n}{100})} . Применить это замечание к населению и воспользоваться каноническим разложением (т.е. разложением в произведение простых сомножителей).
  • Решение

    • Решение

    Пусть население города составляет {a} человек. Поскольку в течение первых {x} лет население увеличивалось на {50\ } ежегодно, то через {x} лет оно стало равно {a(1+\frac{50}{100})^x.} После {y} лет оно стало равным {a(1+\frac{50}{100})^x(1-\frac{388}{9\cdot 100})^y.} После еще {z} лет оно стало равно {a(1+\frac{50}{100})^x(1-\frac{388}{9\cdot 100})^y(1-\frac{50}{3 \cdot 100})^z,} с одной стороны, а, с другой стороны, оно удвоилось (по условию) и стало равно {2a} . Значит,
    { a\left (1+\frac{50}{100}\right)^x \left(1-\frac{388}{9\cdot 100}\right)^y \left(1-\frac{50}{3 \cdot 100}\right)^z=2a. }
    После сокращения на переменную {a,} которая, очевидно, не обращается в ноль, получим уравнение
    { \left (1+\frac{50}{100}\right)^x \left(1-\frac{388}{9\cdot 100}\right)^y \left(1-\frac{50}{3 \cdot 100}\right)^z=2.\;\;\;(*) }
    Преобразуем дроби в скобках и разложим числитель и знаменатель каждой дроби на простые множители:
    { 1 + \frac{50}{100} = 2^{ - 1} \cdot 3,\quad 1 - \frac{388}{9 \cdot 100} = 2^7 \cdot 3^{ - 2} \cdot 5^{ - 2},\quad 1 - \frac{50}{3 \cdot 100} = 2^{ - 1} \cdot 3^{ - 1} \cdot 5 }
    Учитывая, что {2=2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^0} равенство (*) перепишем в виде
    { 2^{-x} \cdot 3^x \cdot 2^{7y} \cdot 3^{-2y} \cdot 5^{-2y} \cdot 2^{-z} \cdot 3^{-z} \cdot 5^z = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^0\;\;\;\; (**) }
    Приравнивая показатели степеней в разложении на простые сомножители в правой и левой частях уравнения (**), получаем систему линейных уравнений относительно переменных:
    { \left\{ \begin{array}{l} - x + 7y - z = 1\\ x - 2y - z = 0\\ - 2y + z = 0. \end{array} \right. }
    Решая эту систему методом исключения неизвестных, получим {x = 4,\; y = 1,\;z = 2.}
  • Ответ

    • Ответ

    {x = 4,\; y = 1,\;z = 2.}